страница6/8
Дата11.07.2018
Размер1 Mb.
ТипРешение

4. Проектирование, конструирование и моделирование технических средств


1   2   3   4   5   6   7   8

4.2 Гидродинамический расчёт затвора обратного поворотного

Неявный алгоритм расщепления по физическим переменным.



Рассмотрим численное интегрирование уравнений Навье-Стокса. Запишем уравнения для движущегося объема 

Здесь S – поверхность объема , V – поле скорости жидкости, P – давление,  – плотность;

Через D обозначены члены в уравнении Навье-Стокса, описывающие вязкостные напряжения, силу тяжести и т.п.

Для замыкания системы уравнений необходимы дополнительные уравнения, описывающие изменение плотности и турбулентный перенос. Вид этих уравнений зависит от физической постановки задачи и рассматриваться не будут.



Запишем разностный аналог уравнений Навье-Стокса:

Неизвестными в этом уравнении являются Vn+1 и Pn+1. Добавим и вычтем дополнительные члены следующим образом:



Это уравнение расщепляется на два:





Видно, что второе уравнение опять является дискретным аналогом уравнений Навье-Стокса, но, в отличии от исходного аналога, в нем используется поле давления, взятое на предыдущем шаге по времени.

Векторное уравнение представляет собой три уравнения конвективно-диффузионного переноса для трех компонент скорости жидкости. Эти уравнения решаются методом, изложенным выше.

Для этого второе уравнение расщепляется следующим образом:





Чтобы определить поле давления, рассмотрим условие несжимаемости жидкости, из которого следует:



где Vsn+1 – значение скорости на границах конечного объема Vi.



Чтобы получить выражение для Vsn+1 запишем аналог уравнения, полученного интегрированием уравнений Навье-Стокса по движущейся грани объема . Для грани этого объема, которая совпадает с гранью b при t=tn и с s при t=tn+1 выражение для Vsn+1 имеет вид:

Подставляя Vsn+1, получим уравнение для определения давления:



Во втором члене в правой части уравнения производится суммирование по граням b объема i, а не по граням s объема Vi , поскольку Pn определен для объема i. Значение для соответствующих друг другу граней b и s. После нахождения поля давления Pn+1 из (3) вычисляется поле скорости Vsn+1.

Хорошо известно, что при решении уравнений движения несжимаемой жидкости на неразнесенных сетках возникают осцилляции поля давления (Patankar S., Numerical heat transfer and fluid flow, Himisphere

Publishing Corporation, New York, 1980). В FlowVision эта трудность преодолевается введением в уравнение для давления разности между представлением градиента давления вторым и четвертым порядком точности (Armfield S.W., Finite Difference Solutions of the Navier-Stokes Equationson Staggered and Non-Staggered Grids, 1-17, Computers Fluids, 20, N 1, 1991).

Общий вид уравнений.

Рассмотрим общий вид уравнений диффузионного типа:



и конвективно-диффузионного типа:



где t – время,  – оператор градиента, V – вектор скорости.

Величины TC (TimeCoefficient), CС (ConvectiveCoefficient), PC (PrediffusionCoefficient), и DC (DiffusionCoefficient) определяют коэффициенты уравнения при соответствующих производных, SST (ScalarSourceTerm) задает источниковый член.

Разностная схема.



Решение (интегрирование) уравнений на отрезке времени [tn+1, tn] осуществляется с использованием следующей аппроксимации уравнений:



где:


 = tn+1 – tn ;

=0 – соответствует явной схеме;

=1 – соответствует неявной схеме;

(k,s) – разностная аппроксимация конвективного оператора:

k – определяет вид реконструкции функции:

схема 1-го порядка точности;

схема 2-го порядка точности;

s – определяет "скошенность" схемы:

учитывает перенос через ребра и вершины ячейки;

не учитывается перенос через ребра и вершины ячейки;

h(DChf) – разностная аппроксимация диффузионного оператора.

Предиктор-Корректор предназначен для увеличения точности расчета уравнений Навье-Стокса при ускоренном движении тел в расчетной области. Им стоит пользоваться при расчете движения тел, для которых включено движение под действием гидродинамических сил.

Расчетная схема метода Предиктор-корректор следующая:

Делается расчет скоростей и давления за шаг по времени , так, чтобы получить и . Расчет проводится методом расщепления по физическим переменным. Находится приближенная скорость на шаге по времени 



Далее решается уравнение Навье-Стокса еще раз, но для шага по времени , чтобы найти окончательные скорости и давления , .



Решение этого уравнения проводится методом расщепления

,

Где – вязкостный член уравнений Навье-Стокса.

Условие устойчивости алгоритма

При использовании явной схемы (Разностная схема) (=0) Пусть k – минимальное пролётное время ячейки которое определяется как минимум отношения характерного размера ячейки к модулю скорости в ячейке по всем ячейкам данной подобласти. Тогда условие устойчивости разностной схемы (условие Куранта-Фридрихса-Леви) можно сформулировать так: проводить расчеты по явной схеме можно лишь при шагах , удовлетворяющих условию:



Разностная схема (=1) являются абсолютно устойчивыми.


Выбор шага интегрирования по времени.

Выбор шага по времени  осуществляется по одному из условий:




где


CFL – константа, определяемая пользователем;

max – максимальный шаг по времени;

own – заданный пользователем шаг по времени.

Ламинарная жидкость.

Данная модель описывает течения вязкой жидкости/газа при малых числах Маха (M < 0.3), малых и умеренных числах Рейнольдса. Допускаются малые изменения плотности, что позволяет естественным образом учесть подъёмную силу. В модель входят уравнения Навье-Стокса, энергии и уравнение конвективно-диффузионного переноса концентрации примеси.

В модель входят следующие уравнения:



Уравнения Навье-Стокса



где источник S равен:



Уравнение энергии:




Нормальная скорость.
На границе области задана нормальная компонента вектора скорости (Vnw)

Если , то граничное условие трактуется как "вход".

Если , то граничное условие трактуется как "выход".

При этом в процессе расчета отрицательная величина Vnw переустанавливается в соответствии соследующим правилом:



которое обеспечивает выполнение условия баланса массы – "сколько массы втекло – столько массы вытекло". Здесь Sin и Sout – площади "входных"/"выходных" граничных поверхностей соответственно.


Давление.
На границе области задается значение давления. Скорость на границе расчетной области устанавливается по следующему правилу:

- В расчетной ячейке, примыкающей к границе, определяется направление вектора скорости.



- Если вектор скорости направлен внутрь расчетной области, то устанавливается нормальная компонента вектора скорости (Vnw), равная модулю вектора скорости в ячейке.
- Если вектор скорости направлен из расчетной области, то устанавливаются нормальные производные компонент вектора скорости равные нулю.




1   2   3   4   5   6   7   8

Коьрта
Контакты

    Главная страница


4. Проектирование, конструирование и моделирование технических средств