Скачать 382.85 Kb.


страница10/10
Дата11.07.2018
Размер382.85 Kb.

Скачать 382.85 Kb.

Гофрировки плоскости


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Для доказательства заметим следующее:

Пусть два соседних ребра при одной вершине образуют угол, меньший, чем соседние с ним углы. Тогда одно из этих ребер – «гора», а другое – «долина».

Действительно, если попытаться перегнуть эти два ребра в одном направлении, то два больших сектора будут мешать друг другу и не дадут сложить лист бумаги до плоского состояния.

Возвращаясь к нашей сетке, видим, что наименьший угол при каждой вершине принадлежит равностороннему треугольнику. Следовательно, при любой вершине треугольника должны сходиться «гора» и « долина». Но это невозможно, поскольку треугольник обладает нечетным числом сторон.

Полученное противоречие показывает невозможность гофрировки плоскости по данной сетке.




Однако, лишь немного изменив сетку, можно избежать этого противоречия. На рис.(23) место квадратов заняли ромбы с острым углом 30. В результате теперь наименьший угол при вершине принадлежит не треугольнику, а ромбу. Получающаяся при этом гофрировка представляет собой очередной пример «хираори». Как легко убедиться, сумма углов «через один» опять составляет 180.

Рис.23

Можно привести даже более простой пример. Разбиение плоскости на равносторонние треугольники, несмотря на выполнение необходимого условия (при каждой вершине образуются шесть углов по 60), кажется, не порождает никакой гофрировки (хотя об этом разговор особый). Но попробуем рассмотреть такое разбиение плоскости на любые треугольники, при котором в каждой вершине сходятся ровно шесть ребер. При этом, естественно, потребуем, чтобы сумма углов «через один» составляла 180. Разнообразие возникающих конструкций настолько велико, что просто не поддается перечислению. Достаточно заметить, что не менее половины рассматриваемых здесь гофрировок основаны на сетках именно этого типа.

Простое разбиение плоскости на прямоугольники является, пожалуй самым тривиальным примером сетки, удовлетворяющей необходимому условию. Но если заменить прямоугольники на скошенные параллелограммы, и сохранить при этом сумму углов «через один», то у нас получится «двойная гармошка». А её, в свою очередь, путем дальнейших деформаций можно превратить в «хираори». Но в основе всех полученных гофрировок будет лежать разбиение плоскости на четырехугольники.



Более того, как известно, плоскость можно замостить равными четырехугольниками произвольного вида. Если при этом сумма противоположных углов четырехугольника будет равна 180, то такая сетка может служить основой для гофрировки. Правда, чтобы эта возможность была реализована, грани сетки должны быть достаточно «длинными и узкими». При этом возникают две возможности:
1) 2)


Сетка из четырехугольников (1) порождает гофрировку, очень похожую на гармошку Шварца. Сетка из четырехугольников (2) может быть сложена двумя способами, в зависимости от распределения «гор» и «долин». В одном случае у вас получится аналог «винтовой лестницы», в другом – нечто вроде спирали Бинона.
1)

2)

Попробуйте сами найти расположение «гор» и «долин» на этих сетках. Помните при этом, что наименьший угол при каждой вершине должен иметь «разные» стороны – «гору» и «долину».





Рассмотренные примеры позволяют выдвинуть следующую правдоподобную гипотезу: для любой регулярной сетки, в каждой вершине которой сходится четное число ребер, существуют сетки того же типа, допускающие гофрировку.

Но для того, чтобы доказать или опровергнуть эту гипотезу необходимо сначала дать строгое определение гофрировки. И здесь возникают сложности. Чем отличается, например, гофрированный лист бумаги от сложенного листа? Можно, ведь, сложить лист по всем линиям простой прямоугольной сетки. Однако, получившийся бумажный прямоугольник вряд ли стоит причислять к гофрировкам.

Другой вопрос связан с поверхностями, вписанными в цилиндр, такими как гармошка Шварца или «винтовая лестница». Ширина листа, из которого мы складываем модель, ограничена длиной окружности описанного цилиндра. Если же распространить сетку на всю плоскость, то получающаяся «теоретическая гофрировка» становится самопересекающейся.



Но если мы допускаем возможность самопересечений, то требование, чтобы наименьший угол при вершине имел «разные» стороны, становится несущественным. При этом наши модели приобретают все более абстрактный характер. Их уже нельзя складывать из реального листа бумаги. Вместо изготовления бумажных конструкций, придется заняться созданием умозрительных построений.

Здесь разговор о гофрировках плоскости, пожалуй, уместно закончить. Попробуйте создать свою конструкцию (или свою теорию, что вам больше нравится). В любом случае простор для творчества обеспечен. Успехов!
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Коьрта
Контакты

    Главная страница


Гофрировки плоскости

Скачать 382.85 Kb.