• ТЕОРЕМА : (Кавасаки)

  • Скачать 382.85 Kb.


    страница9/10
    Дата11.07.2018
    Размер382.85 Kb.

    Скачать 382.85 Kb.

    Гофрировки плоскости


    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

    Заключение


    Если у вас хватило терпения, чтобы сложить хотя бы несколько моделей, то, наверняка, вам захочется придумать еще какую-нибудь гофрировку. В этом случае полезно знать простой критерий (необходимое условие), которым можно руководствоваться при определении пригодности сетки для гофрировки.

    ТЕОРЕМА: (Кавасаки)


    Если разбиение плоскости на многоугольники допускает гофрировку, то выполняется следующие условия:

    1) В каждой вершине сетки сходится четное число ребер.

    2) Сумма углов, взятых через один, при любой вершине составляет 180.







    1

    2




    3

    4




    


    Для доказательства достаточно рассмотреть одну вершину сетки. Вырежем круг с центром в этой вершине. Ребра сетки делят его на секторы. (На чертеже всего четыре сектора, но их может быть и больше.) Если гофрировка по данной сетке возможна, то наш круг складывается по всем проведенным радиусам.

    Зададим на окружности направление обхода и будем рассматривать направленные дуги. В результате складывания все дуги накладываются друг на друга. При этом любые две соседние дуги направлены в разные стороны.

    Совершим теперь полный обход по краю сложенного круга. На каждом сгибе направление движения будет меняться на противоположное. Если величины дуг равны 1;2;3;4… , то итоговое смещение будет равно
    1-2+3-4+… Поскольку, пройдя по замкнутому пути, мы вернемся в исходную точку, 1-2+3-4+…=0.

    С
    Рис.22


    ледовательно, сумма «четных» дуг равна сумме «нечетных» (и равна, очевидно 180), при этом общее количество дуг должно быть четным. Теорема доказана.

    

    Легко проверить, что все рассмотренные до сих пор сетки удовлетворяют этому критерию. Но, увы, доказанная теорема дает только необходимое условие. Далеко не всякая сетка, для которой оно выполнено, может быть превращена в гофрировку.

    Например, сетка изображенная выше на рис.(22), удовлетворяет условию, но, несмотря на это, не поддается гофрировке.

    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

    Коьрта
    Контакты

        Главная страница


    Гофрировки плоскости

    Скачать 382.85 Kb.