• Д. С. Сперанский

  • Скачать 302.53 Kb.


    Дата11.07.2018
    Размер302.53 Kb.
    ТипРешение

    Скачать 302.53 Kb.

    Использование многосеточного метода для решения уравнения пуассона в задаче моделирования приборных структур методом



    ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА

    ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В ЗАДАЧЕ

    МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИБОРНЫХ СТРУКТУР МЕТОДОМ

    МОНТЕ-КАРЛО

    Д. С. Сперанский

    Как известно, при численном моделировании различных полупровод­никовых приборов, в частности методом Монте-Карло, - необходимо учитывать непрерывное изменение во времени и пространстве электри­ческого поля. Решение уравнения Пуассона при определенных заданных граничных условиях позволяет получить адекватное реальному распре­деление потенциала и напряженности электрического поля в приборе [1]. Так как метод Монте-Карло требует больших затрат машинного време­ни, то при разработке программ моделирования должны использоваться эффективные алгоритмы решения уравнения поля.



    Целью данной работы явилась демонстрация возможности исполь­зования многосеточного метода для решения уравнения Пуассона, а также его сравнительная оценка с некоторыми наиболее часто исполь­зуемыми методами при моделировании полупроводниковых прибор­ных структур методом Монте-Карло.

    УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА



    Если ввести в области решения прямоугольную сетку с шагом h, то ис­ходную дифференциальную задачу можно аппроксимировать пятиточеч­ной конечно-разностной схемой [2]:

    шений в узлах сетки, w -вектор значений правой части уравнения (1) в уз­лах сетки.

    Сегодня для решения

    уравнения Пуассона чаще

    всего используют методы



    последовательной верх­ней

    релаксации (ПВР), или

    какой-либо из мето­дов

    быстрого решения эллиптических

    уравне­ний (БРЭУ методы). Од­нако их производительности становиться недостаточно при моделирова­нии двухмерных систем со сложными граничными условиями или трех­мерных систем.

    Существенно ускорить решение уравнения Пуассона позволяет мно­госеточный метод (МС), который можно отнести к итерационным мето­дам. Он основан на использовании последовательности уменьшающихся сеток и операторов перехода от одной сетки к другой для эффективного подавления низкочастотных составляющих ошибки [3, 4]. Помимо этого, алгоритм многосеточного метода удачно вписывается в современную концепцию объектно-ориентированной методологии (ООМ), и дает воз­можность распараллеливания вычислений [5].



    МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД

    Если - последовательность приближенных решений системы (2), сходящихся к точному решению u,а - приближенное ре­шение на шаге i, то можно определить невязку r' [2, 6]:





    для уточнения предыдущей аппроксимации vполученной на исходной сетке Ωn,[3, 6]:

    (6)

    Самая простая схема многосеточного алгоритма, использующая две сетки, для i-й итерации имеет следующий вид [6]:



    1. Приближенное решение viсистемы (2) на сетке Ωn сглаживается на
      исходной сетке с использованием подходящей релаксационной схемы;

    2. Вычисленная на сетке Ωn согласно уравнению (3) невязка перено­
      ситься на более грубую сетку Ωn-1

    3. Находится точное решение уравнения (5) на грубой сетке;

    4. Найденноеинтерполируется с сетки Ωn-1на сетку Ωn.Вычисля­
      етсяvi+1;

    5. Осуществляется окончательное сглаживание приближенного реше­
      нияvi+1на сетке Ωn.

    Для того, чтобы приведенную выше схему распространить на после­довательность все более и более грубых сеток, необходимо применять весь алгоритм в рекурсивном порядке на шаге 3. Рекурсия прекращается, когда достигается самая грубая сетка Ω0, где уравнение (5) решается с за­данной точностью.

    Реализация многосеточного алгоритма, требует больших затрат памя­ти по сравнению с алгоритмом ПВР. Разница в основном связана с тем, что метод ПВР предполагает хранение значений в узловых точках един­ственной сетки, в то время как многосеточный алгоритм оперирует с рассчитанными данными в узлах всей последовательности уменьшаю­щихся сеток. Помимо этого, схема многосеточного алгоритма подразу­мевает использование рассчитанных коэффициентов операторов интер­поляции и сглаживания. На рис. 2 показана зависимость среднего объема памяти, требующейся для хранения промежуточной информации при реа­лизации методов ПВР и МС, от числа узлов сетки Ng.



    Несмотря на то, что многосеточный метод требует больших ресурсов памяти, чем метод последовательной верхней релаксации, он обладает го­раздо более быстрой сходимостью [3, 6]. Для сравнения быстродействия многосеточного метода и чаще всего используемых в Монте-Карло моде­лировании методов последовательной верхней релаксации, а также метода быстрого преобразования Фурье с циклической редукцией, было проведе­но решение модельной задачи, соответствующей прямоугольной области приборной структуры с граничными условиями Дирихле на границе кон­такт-полупроводник, и Неймана на остальных границах (рис. 1). В этом случае решалась система уравнений (2) за временной шаг коррекции поля Δtв прямоугольной области с равномерной сеткой. На рис. 3 приведена зависимость времени решения уравнения Пуассона различными методами





    от Ng, при заданной точности для итерационных методов.

    Из рис. 3 видно, что многосеточный метод уступает по быстроте ре­шения системы (2) методу быстрого преобразования Фурье с цикличе­ской редукцией (БПФ с ЦР). Это очевидно, поскольку как метод БПФ с ЦР, так и другие специализированные методы этого класса, доказывают свою эффективность лишь при моделировании упрошенных модельных задач. Если же учитывать сложные граничные условия, то необходимо использование дополнительной процедуры матрицы емкости, что ведет к значительному увеличению времени решения системы (2).



    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Таким образом, можно сделать вывод о том, что многосеточный метод для рассмотренных условий является значительно более быстрым, чем метод последовательной верхней релаксации с ускорением по Чебышеву и более универсальным, чем специализированный метод БПФ с ЦР. Также видно, что зависимость времени решения для многосеточного метода от числа узлов является практически линейной. Благодаря этому его можно также успешно применять не только для решения двумерного уравнения Пуассона, но и при трехмерном моделировании приборных структур мето­дом Монте-Карло.

    В дальнейшем предполагается включить многосеточный алгоритм в программный пакет моделирования n-канального МОП-транзистора методом Монте-Карло на основе ООМ GSB-MOSFET. Представляет­ся, что это позволит значительно увеличить скорость расчетов при со­хранении необходимой точности.

    Литература

    1. Хокни Р., ИствудД. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987. 640 с.

    2. Самарский, А. А., ГулинА. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

    3. Trottenberg U., OsterleeC. W., Schuller A. Multigrid // Academic Press. 2000.

    4. William L. Briggs, Van Emden Henson, and Steve F. McCormick. A Multigrid Tutorial.
      Second Edition. SIAM, 2000.

    5. Сперанский Д. С, Борздов В. М. Моделирование полупроводниковых приборных
      структур методом Монте-Карло. Подход с использованием технологии объектно-
      ориентированного программирования // Доклады БГУИР. 2008. № 4. С. 66-71.

    6. Saraniti M., Rein A., Zandler G., Vogl P., Lugli P. An Efficient Multigrid Poisson
      Solver for Device Simulations // IEEE Trans. on comp. 1996. Vol. 15, N 2. P. 141-150.

    7. Борздов В. М. Моделирование методом Монте-Карло приборных структур инте­
      гральной электроники / В. М. Борздов, О. Г. Жевняк, Ф. Ф. Комаров, В. О. Гален-
      чик. Минск, БГУ. 2007.

    Коьрта
    Контакты

        Главная страница


    Использование многосеточного метода для решения уравнения пуассона в задаче моделирования приборных структур методом

    Скачать 302.53 Kb.