• Исследовательская работа по теме
  • Содержание 1.Введение. 3-4
  • Построение (способ Маклорена )
  • 1. Гусак А.А., Гусак Г.М. «Линии и поверхности». Минск: "Вышэйшая школа", 1985.

  • Скачать 213.05 Kb.


    Дата24.08.2017
    Размер213.05 Kb.
    ТипИсследовательская работа

    Скачать 213.05 Kb.

    Лемниската Бернулли



    Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
    Гришино - Слободская средняя общеобразовательная школа
    НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ
    Исследовательская работа по теме
    «Замечательные кривые»

    Работу выполнила:

    учащаяся 10 класса

    Новикова Алина

    Руководитель:

    Панкова Е.Ю.

    учитель математики

    2014

    Содержание
    1.Введение. 3-4

    2.Лемниската Бернулли. 5-6
    3.Эллипс. 7-9

    4.Циклоида. 10-11

    5.Декартов лист. 12-13


    6.Кардиоида. 14-16

    7.Спираль Архимеда. 17-18

    8.Циссоида Диоклеса. 19-20

    9.Локон Аньези. 21-22

    10.Построение кривых с помощью компьютерных технологий. 23

    10.Заключение. 24-25




    Введение

    "Прямые линии ведут к упадку – нечто трусливое,

    прочерченное по линейке, без эмоций и  размышлений...

    С помощью прямой уже нельзя творить – потенциал иссяк..."

    Фриденсрайх Хундертвассер 
    Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекли внимание людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых.

    Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые.

    В разговорном языке «кривая», «кривой» «кривое» употребляется, как

    прилагательные, обозначающие, то что откланяется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, кривой дороге, о кривом зеркале; «без соли, и стол кривой» - гласит пословица.

    Так же и сегодня, все что нас окружает, состоит из множества черт, которые, в свою очередь, складываются из различных кривых. В силу частой встречаемости кривые находят широкое практическое применение: они встречаются в быту, живописи, архитектуре, природе...
    Изучение этих кривых, а также принципа их построения способствует тому, что, определяя закономерности, которым подчиняется след движущейся точки, и, описывая их, можно прийти к тому, что, зная только параметры направляющей и производящей фигур, можно построить

    Например, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе – тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.

    Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.

    Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы этой работы.



    Цель работы: познакомиться с некоторыми поистине замечательными

    кривыми, которые встречаются и имеют практическое применение в нашей жизни.


    Объектом исследования явились замечательные кривые.
    В своей работе изучение каждой кривой я рассмотрела в трех направлениях:

    - определение;

    - построение;

    - практическое применение.



    Лемниската Бернулли
    Название происходит от греч. λημνισχος (лемнискос) — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

    В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением . Он отмечает сходство этой линии с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском» (рис.1). Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции.





    рис.1

    Лемниската есть частный вид линии Кассини. Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули была уставновлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).

    Лемниската есть геометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них до концов данно отрещка равно . Точки F1, F2 называются фокусами лемнискаты; прямая F1F2 – ее осью.

    Построение (способ Маклорена)


    1)Строим окружность радиуса с центром в точке F1 (или F2). 2)Проводим произвольную секущую OPQ.

    3)Откладываем на этой прямой в обе стороны от точки O отрезки OM и OM1, равные хорде PQ.

    4)Точка M опишет одну из петель лемнискаты, точка M1 – другую.(Приложение 1)

     В технике лемниската используется, в  частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как  это имеет место на железнодорожных  линиях в горной местности и на трамвайных путях. Таким образом, она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.


       В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя  параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам  в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой(рис.2)



    рис.2

    Эллипс

    Эллипс - от др. - греч.— недостаток.



    Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.         

    В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.





    рис.3

    Пусть F1 и F2 - фокусы эллипса. Начало  системы координат расположим на середине отрезка F1 F2 . Ось OX направим вдоль этого отрезка, ось OY  - перпендикулярно к этому отрезку(рис.3).

       Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна 2a , а расстояние между фокусами – 2c . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

    Расстояние с = называют фокальным расстоянием.

    Эксцентриситетом эллипса называю отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

    Построение

    1)Проведем две концентрические окружности, диаметры которых равны большой АВ и малой CD осям будущего эллипса

    2) Проведем в любом направлении диаметр большой окружности. 3)Из точек его пересечения с большой окружностью проводим лучи параллельно малой оси, а из точек пересечения с малой окружностью - параллельно большой оси.
    4)Точки М и N пересечения этих лучей являются точками эллипса.(Приложение 2)

    Для нахождения фокусов F1 и F2 надо из точки D, как из центра, провести дугу радиусом R = АО; она пересечет ось АВ в точках F1 и F2 (фокусах).

    Эллипсы в реальности встречаются гораздо чаще, чем, кажется. Например, планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам (рис.4), кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму (рис.5).



    рис.4 рис.5

    В форме эллипса можно изготовить журнальный столик или соткать ковер (рис.6).



    рис.6

    А у садоводов свой способ применения эллипса: в землю втыкают два колышка, крепят веревку к колышкам (один конец к одному второй к другому), верёвку оттягивают в сторону и вычерчивают эллипс с помощью палки.

    Если представить себе, что эллипс, подобно зеркалу, может отражать световые лучи, и поместить в один из его фокусов источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шепота, «потусторонних» звуков.

    Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму (рис.7).



    рис.7

    В строительной технике по эллипсу иногда очерчивают арки сводов (рис.8).



    рис.8

    Для вытачивания эллиптических колес на токарных станках употребляется патрон, изобретенный Леонардо да Винчи. При помощи этого патрона можно обтачивать данную вещь по эллипсу, подобно тому, как в обыкновенных станках вещь обтачивается по кругу.



    Циклоида

    Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой(рис.9).



    рис.9

    Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующего круга. Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Декарт и Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и установили ряд других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.

    Уравнение циклоиды в декартовых координатах:



    Построение

    Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.

    Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку, занумеровав эти положения цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота, так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0 , то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1 , M2 , М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным 1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М0, М1 , M2 , М3 , М4 , M5 , M6 , плавной кривой (на глаз).(Приложение 3)

    Заряженная электричеством частица, попадая в наложенные друг на друга электрическое и магнитное поле, движения по кривой, при ближайшем исследовании является циклоидой.

    В строительном деле мы можем встретиться с циклоидой — арки сводов в некоторых случаях очерчиваются по этой замечательной кривой.

    Декартов лист
    Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где  и  принимают положительные значения (рис.10). Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (рис.11).

    В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.





    рис.10 рис.11

    Декартов лист является плоской кривой третьего порядка и задаётся уравнением .

    Коэффициент 3a выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что

    , а диагональю такого квадрата будет AE=3a.

    Точка O – узловая. Осью симметрии петли является прямая OA, задаваемая уравнением y=x. Точка A, наиболее удалённая от узловой точки, имеет координаты (). Ветви OL и OI бесконечны, и имеют общую асимптоту UV, которая выражается уравнением y=-x-a.



    Построение кривой

    Для того чтобы построить декартов лист с некоторым диаметром петли l, необходимо:



    1. провести окружность радиуса AO = l и какую-либо прямую GH, параллельную AO;

    2. проведём прямые AA’ и OE, перпендикулярные к OA, и отметим точки A’, E их пересечения с прямой GH;

    3. отложим на луче OA отрезок OF = 3OA и проведём прямую FE.

    Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом:

    1. через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая вторично пересекает окружность, проводим NQ|| AA’;

    2. точку Q, где NQ пересекает прямую OF, соединяем с A’ и отмечаем точку K, где QA’ пересекает FE;

    3. проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q’;

    4. наконец, откладываем на прямой OA отрезок OP, равный и равнонаправленный с отрезком A’Q’;

    5. прямая M1M2, проведённая через P параллельно AA’, пересекает прямую ON в точке M1. Эта точка ( а также точка M2, симметричная с ней относительно AO) , принадлежит искомой линии. (Приложение 4)

    Когда точка N, исходя из O, описывает окружность A против часовой стрелки, точка M1 описывает траекторию LOCABOI.



    Кардиоида

    Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал Джованни Сальвемини ди Кастиллоне в 1741 г.

    «Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир, который открыл кривую независимо, в 1708 г. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков.

    Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса (рис.12). Траекторией точки будет кардиоида.





    рис.12

    По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (греческое слово «кардиа» означает «сердце»).

    Уравнение кардиоиды в прямоугольных координатах:



    Построение

    Если через точку, взятую на окружности, провести во всех направлениях лучи, пересекающие эту окружность, и из каждой точки пересечения отложить вдоль каждого луча в обе стороны отрезки, равные диаметру этой окружности, то получим точки кривой, называе­мой кардиоидой. (Приложение 5)



    Сорок лет назад математик Илья Блох привел многочисленные примеры явления и применения кардиоиды. Так, изучая фотографию обратной стороны Луны, он выявил, что выдающиеся вершины гор и обособленные кратеры единственным образом складываются в последовательность, представляющую собой две сопряженные кардиодические линии. Центр этого изображения совпадает с центром диска Луны, а его длина равна половине диаметра диска. В те же годы в журнале "Наука и жизнь" один из космонавтов писал о самой экономичной траектории полета с планеты на планету с возвращением туда, откуда стартовал корабль. Такая траектория представляет собой математически правильную кардиоиду. 

    Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические  колебания. При этом скорость поступательного  движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.
         Одна  из составных частей в механизме  для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде (рис.13). При этом скорость поднятия или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.


         

    рис.13 рис.14

    Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.

    Широким спросом пользуются кардиоидные микрофоны (рис.14). Кардиоидные микрофоны можно использовать в помещениях, куда попадают посторонние шумы или где имеются звуковые отражения.



    Спираль Архимеда.

    Архимедова спираль – плоская кривая, описываемая точкой M, равномерно движущейся по прямой OA, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек O.

    Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками (рис.15).



    рис.15

    Построение

    1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей.

    2. Делим окружность на такое же число равных частей.

    3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.

    4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.

    5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.

    6. Если строить спираль дальше, то  на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX).

    7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X).

    8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д. (Приложение 6)

    Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.

    Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч (рис.16), опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик (рис.17) – все они имеют форму спиралей.



    рис.16 рис.17

    По спирали Архимеда идет, например звуковая дорожка. Одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку – имеет форму спирали Архимеда(рис.18).





    рис.18

    Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого – винт (прообраз объемной спирали)- использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке(рис.19).





    рис.19

    Циссоида Диоклеса

    Циссоида Диоклеса – плоская алгебраическая кривая 3-го порядка. Уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат имеет соответственно вид .



    рис.20

    Построение

    Можно предложить следующий геометрический способ определения циссоиды Диоклеса. Рассмотрим окружность радиуса а с центром в точке (а; 0) (рис.20), и пусть точка A(2а; 0) – диаметрально противоположна началу координат, а прямая t – касательная к данной окружности, проходящая через точку A  (параллельно оси ординат) – см. рис. Пусть лежащая на окружности точка О будет центром пучка прямых. Тогда циссоида Диоклеса – геометрическое место точек М данного пучка прямых, для которых выполняется равенство ОМ = СВ, где С и В – точки пересечения прямой ОМ пучка соответственно с окружностью и с прямой t . (Приложение 7)

    Кривая названа по имени древнегреческого математика Диоклеса (Ш век до нашей эры), применявшего её в решении делосской задачи (т.е. задачи об удвоении куба). При этом древние греки рассматривали только часть циссоиды, лежащую внутри производящей окружности; эта часть циссоиды вместе с дугой окружности напоминают лист плюща. Этим и объясняется название кривой: оно произошло от греческого слова χισσειδήζ – плющевидный, похожий на лист плюща, которое, в свою очередь, пошло от χισσοζ – плющ и ειδος – вид, форма.

    В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз. Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.



    Локон Аньези

    Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где  — диаметр окружности, — полухорда этой окружности, перпендикулярная (рис.21). Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.



    рис.21

    Эту кривую упоминал уже Ферма в 1703 году, а построение ее привел Гранди, который в 1718 г. за ее форму назвал ее на латыни “versoria’’, что значит “канат, который поворачивает парус’’. По-итальянски Гранди привел название “ versiera’’, И конечно же, в своей книге Аньези совершенно правильно назвала кривую “la versiera’’. Книгу Аньези переводил на английский язык Джон Кольсон, который неправильно заменил “la versiera’’ на “l’aversiera’’, что значит “ведьма’’, или “жена дьявола’’. Таким образом, в Англии эта кривая стала известна как “ведьма Аньези’’.

    В прямоугольной системе координат уравнение кривой имеет вид:





    Построение

    Строится окружность диаметра  и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке. (Приложение 8)

    Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези (рис.22). Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180-200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.





    рис.22

    Построение кривых с помощью компьютерных технологий

    Замечательные кривые можно построить не только вручную, но и с помощью различных компьютерных программ. Одной из таких программ является Graficus, которая строит графики замечательных кривых в режиме онлайн.



    Работа данной программы была протестирована при построении кардиоиды, спирали Архимеда и полярной розы (рис.23-25).





    r=5*cos(6*t) r=2*(1+cost) r=2*t

    рис.23 рис.24 рис.25

    Заключение

    Применение замечательных кривых широко распространено, их применяют в производстве, строительстве, военном деле. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора.

    Мы их видим каждый день!







    Несмотря на то, что у них на первый взгляд сложные и непонятные названия – все они по-своему замечательные!

    Зовут меня ученые - кривая.

    Я - линия довольно не простая:

    Есть у меня изгибы, повороты,

    И есть прямые слуги асимптоты.

    Прямая ломит напролом, ломая шею.

    Я ж обойти преграды все сумею,

    А максимум и минимум известны

    Кривую делает особо интересной

    И как не хорохорится прямая,

    Довольно точна линия такая

    Представит синусоиду простую,

    Взять только амплитуду нулевую.

    И коль соображаешь ты, братишка,

    Тогда при мне не задавайся слишком

    Ведь знают все детсадовцы любые,

    Что в голове извилины кривые!

    Но, между прочим, и для разгильдяя

    Живет во мне надежда неплохая:

    Лентяй из двоек вылезет,

    Когда «кривая вывезет».



    Ресурсы

    1. Гусак А.А., Гусак Г.М. «Линии и поверхности». Минск: "Вышэйшая школа", 1985.


    2. Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп»; Москва; ―ГосТехИздат‖ - 1949г.

    3. Г. Н. Берман «Циклоида»; Москва; ―ГосТехИздат‖ - 1954г.



    4. А. И. Маркушевич «Замечательные кривые»; Москва; ―Наука‖ - 1978г.

    http://ru.wikipedia.org/wiki/

    http://omop.su/2001/06/13484.php

    http://ru.science.wikia.com/wiki/Эллипс

    http://kingiseppnews.ru/?p=5150

    http://matematikaiskusstvo.ru/episikl.html

    http://grafikus.ru/



    Коьрта
    Контакты

        Главная страница


    Лемниската Бернулли

    Скачать 213.05 Kb.