• Актуальность темы
  • Цель работы
  • Задачи
  • Объект исследования
  • Практическая значимость
  • Основная часть 2.1Циклоида



  • страница1/4
    Дата22.02.2018
    Размер0.53 Mb.
    ТипНаучно-исследовательская работа

    Научно-исследовательская работа «Замечательные кривые»


      1   2   3   4

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

    средняя общеобразовательная школа с.Бестянка

    Кузнецкого района Пензенской области
    Научно-практическая конференция школьников

    «Старт в науку»


    Секция: математика

    Научно-исследовательская работа

    «Замечательные кривые»

    Работу выполнил - Аббясов Иркен, ученик 10 класса

    МБОУ СОШ с.Бестянка Кузнецкого района

    Научный руководитель- учитель математики Бикмурзина Л.Я.


    2016г
    Содержание

      1. Введение....................................................................................................с. 4-5

    2. Основная часть.........................................................................................с. 6-16

    2.1 Циклоида................................................................................................с. 6- 10

    2.2 Кардиоида..............................................................................................с. 10-13

    2.3 Эллипс.....................................................................................................с. 13-15

    2.4 Кривая Коха............................................................................................с. 15-16

    Социологический опрос ..............................................................................с. 17

    Заключение ...................................................................................................с. 18

    Список литературы ......................................................................................с. 19


    Актуальность темы: заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. В курсе изучения аналитической геометрии не предусмотрено рассматривание свойств замечательных кривых, которые широко используются в жизни.

    Цель работы: изучить свойства, применение, построение некоторых кривых, которые встречаются и имеют практическое применение в нашей жизни и создать несложные инструменты из подсобного материала для их построения.

    Задачи:

    - изучить необходимую литературу про свойства замечательных кривых;

    -исследовать присутствие и применение некоторых кривых в окружающей жизни;

    - найти практическое применение данных кривых на уроках математики.

    Объект исследования: построение кривых и их свойства.

    Гипотеза: использование данного материала показывает практическое применение кривых в жизни человека.

    Практическая значимость: материал по замечательным кривым поможет красочно и доступно продемонстрировать значимость их свойств , а несложные инструменты, созданные на основе этих свойств, помогут без особого труда построить данные кривые .

    Введение

    Второй год в нашей школе проводится работа по изготовлению несложных инструментов, которые можно применить в практической деятельности человека.

    Если внимательно присмотреться к окружающим нас предметам, легко можно заметить, что далеко не все они могут быть изображены на чертеже только с помощью прямых линий. Формы большей части предметов содержат в себе более сложные элементы кривых линий и поверхностей. Здания, машины, механизмы, мебель, одежда, посуда – все содержат в себе эти элементы.

    Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии и встречающиеся в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, применяемых человеком в жизни. Я выбрал эту тему, так как считаю её интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к математике, открывающей практическое приложение математики в жизни. Использование данного материала на факультативных занятиях расширяет кругозор учащихся, развивает пространственное представление, мышление. В школьном курсе математики рассматриваются кривых второго порядка – гипербола, парабола, окружность, синусоида, но нигде не говорится о замечательных свойствах эллипса, циклоиды, кардиоды, спирали Архимеда, кардиоиды, а тем более об их практическом применении. Я думаю, что полезно будет знать информацию об этих кривых, которые широко применяются в жизни. И моё мнение такое, что на уроках геометрии в 11 классе при изучении тем «Конус» и «Цилиндр» можно было бы вводить понятие эллипса и рассматривать его свойства.

    Замечательные кривые меня заинтересовали при изучении алгебры, так как именно на этих уроках я впервые познакомился с гиперболой, параболой, окружностью, синусоидой.

    В данной работе собран материал с уклоном на практическое построение и применение кривых. Изучение каждой кривой я рассматривал в трех направлениях:

    ·  Теория – определение кривой и её замечательное свойство.

    ·  Практика – как построить кривую при помощи школьных чертежных инструментов или подручного материала.

    ·  Приложение – практическое применение кривых в жизни человека.

    Основная часть

    2.1Циклоида

    При построение графика функции у= Isin xI и y=Icos xI ( рис.1)я выяснил, что графиком этих функций является кривая, которая называется напоминает циклоиду.



    рис. 1

    Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой(рис.2).



     рис.2

    Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующего круга. Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Декарт и Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и установили ряд других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.

    Уравнение циклоиды в декартовых координатах: 

     

    Построение

    Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.



    Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку, занумеровав эти положения цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота, так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0 , то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1 , M2 , М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным 1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М0, М1 , M2 , М3 , М4 , M5 , M6 , плавной кривой (на глаз). (рис3) рис. 3

    Заряженная электричеством частица, попадая в наложенные друг на друга электрическое и магнитное поле, движения по кривой, при ближайшем исследовании является циклоидой.

    В строительном деле мы можем встретиться с циклоидой — арки сводов в некоторых случаях очерчиваются по этой замечательной кривой. 

    Я решил сам из подсобного материала сделать инструмент для построения этой циклоиды.



    Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. (Что по-гречески значит « кругообразная») (рис.4, рис.5)

    Рис.4, Рис.5Построение циклоиды

    Определяется она как кривая, которую описывает точка обода колеса, катящегося без проскальзывания по прямой линии.

    Циклоида обладает многими замечательными свойствами. И основное свойство циклоиды: касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга ( рис.6)



    Рис.6 Свойство циклоиды

    Обратим внимание на положение касательной к циклоиде. Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста.

    Вот ещё одно свойство. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А и В ( А выше чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что желоб должен быть прямолинейным. Но это не так.



    Может быть желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI - XVIIвв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз(рис 7).

    Рис.7


    Опыт.

       

    Мы знаем, что часы с обычным маятником не могут идти точно, ведь период колебаний зависит от амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. По какой кривой должна двигаться точка, чтобы ее период не зависел от амплитуды. Понятно, что в обычном маятнике кривая, по которой движется точка – есть окружность. В приведенном случае искомой кривой является перевернутая циклоида. ( рис 8).Такой маятник создал Христиан ГЮЙГЕНС, голландский ученый, в 1657 году. Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О), сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АВ) и дал возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ).



    При этих условиях конец маятника (Т) движется по циклоиде (таутохроне), а период колебания не зависит от величины начального отклонения

    Рис.8


    Христиан Гюйгенс, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник.

    С циклоидами связан один интересный парадокс. Допустим, что пассажирский поезд идет из Москвы в Киев. Оказывается в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Этому можно только удивиться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельс, то можно увидеть выступ на колесе, который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельс. Эта самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению своего колеса.



    Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею, будет выглядеть как на рисунке. Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель (рис 9)

    Рис.9



      1   2   3   4

    Коьрта
    Контакты

        Главная страница


    Научно-исследовательская работа «Замечательные кривые»