• Цель курса
  • Содержание курса
  • ЛИТЕРАТУРА
  • Дополнительная литература

  • Скачать 69.88 Kb.


    Дата26.04.2018
    Размер69.88 Kb.
    ТипПрограмма курса

    Скачать 69.88 Kb.

    Структура и управление в высшем образовании


    Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики

    Факультет физико-математических и естественных наук

    ПРОГРАММА


    дисциплины “Уравнения математической физики”

    Специальность НП, курс 3, семестры 3 и 4
    2008/2009

    ПРОГРАММА КУРСА

    Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики.

    Факультет физико-математических и естественных наук.

    Обязательный годовой курс в 3-м и 4-м семестрах.

    Объем учебной нагрузки: лекции – 70 часов (2 часа/нед.),

    практические занятия – 53 часа (2 часа/нед. в 3-м сем. и 1 час/нед.в 4-м сем.).



    Цель курса


    Основной целью курса является введение в современные методы решения задач

    математической физики, ориентированное на студентов, специализирующихся

    по прикладной математике. Подробно разбираются все этапы построения математических моделей физических процессов. Хорошо отраженная в учебной литературе классическая часть стандартного курса уравнений математической физики излагается кратко. Основное внимание уделяется изложению современного подхода к дифференциальным уравнениям в частных производных, лежащего в основе построения эффективных аналитико-численных методов решения задач математической физики.

    Содержание курса


    Тема 1. Постановка задач математической физики.

    Математическая модель физического процесса и этапы ее построения. Понятие корректности постановки задачи математической физики. Вывод уравнения теплопроводности и уравнения диффузии. Постановка основных начально-краевых задач. Вывод уравнения неразрывности сплошной среды и постановка простейшей задачи стационарного обтекания твердого тела потенциальным потоком невязкой несжимаемой жидкости. Вывод уравнений Эйлера и постановка основных начально-краевых задач динамики идеальной жидкости. Тензор напряжений и теорема Коши. Уравнения динамики сплошной среды в форме Коши. Уравнения Навье-Стокса как простейшая математическая модель динамики вязкой сплошной среды. Постановка основных начально-краевых задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.




    Тема 2. Классификация уравнений и систем.

    Классификация общих квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных в Rn. Эллиптические уравнения. Гиперболические уравнения. Параболические уравнения. Примеры. Классификация систем дифференциальных уравнений в частных производных по Петровскому. Недостаток классификации по Петровскому. Примеры. Системы, эллиптические по Дуглису-Ниренбергу. Примеры. Классификация уравнений второго порядка в Rn по квадратичной форме. Канонический вид эллиптических, гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Замена переменных в дифференциальных уравнениях в частных производных. Приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений второго порядка в Rn.


    Тема 3. Преобразование Фурье.

    Пространство Шварца S. Преобразование Фурье на S и его свойства.

    Обращение преобразование Фурье на S. Теорема о свертке. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье с начальными данными из S. Ядро Пуассона. Расширение преобразования Фурье на все пространство L2 и теорема Планшереля. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с растущими начальными данными.
    Тема 4. Пространства Соболева и Соболева-Слободецкого.

    Расширение понятия классического решения. Обобщенные производные

    по Соболеву. Примеры вычисления обобщенных производных. Пространство Соболева и его полнота. Интегральное представление функции из пространства Соболева. Связь между классической и обобщенной производными. Пространство Шварца обобщенных функций медленного роста S' и его свойства. Преобразование Фурье в S'. Пространство Соболева-Слободецкого вещественного порядка гладкости s. Теоремы вложения. Теорема о следах на гиперплоскости и теорема продолжения с гиперплоскости. Решение дифференциальных уравнений на всем Rn с помощью преобразования Фурье. Эллиптический оператор как изометрия между двумя пространствами Соболева-Слободецкого.
    Тема 5. Обобщенные постановки краевых задач.

    Обобщенные постановки первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Пуассона с неоднородными краевыми условиями в классе решений с первыми производными из L2 . Проверка корректности определения обобщенного решения. Обобщенные постановки первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Пуассона в классе L2 с неоднородными краевыми условиями. Проверка корректности определения обобщенного решения. Решение поставленных краевых задач в случае полупространства с помощью преобразования Фурье. L2 – оценки для построенных решений. Линейные непрерывные функционалы на гильбертовом пространстве. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала. Непрерывные билинейные и полуторалинейные формы на гильбертовом пространстве. Теорема Лакса-Мильграма. Неравенство Фридрихса. Теоремы существования и единственности обобщенных решений первой, второй и третьей краевых задач с однородными краевыми условиями в классе решений с первыми производными из L2 .




    Тема 7. Метод Фурье.

    Дифференциальные операторы. Область определения дифференциального

    оператора. Ограниченность и неограниченность дифференциального

    оператора. Примеры. Замкнутые операторы и критерий замкнутости.

    Пример незамкнутого дифференциального оператора. Область определения

    дифференциального оператора как замкнутое подпространство в пространстве Соболева. Замкнутость области значений дифференциального оператора. Ядро дифференциального оператора и его ортогональное дополнение. Компактность вложения пространства Соболева в пространство Лебега. Сопряженные дифференциальные операторы. Область определения

    сопряженного дифференциального оператора. Примеры. Самосопряженные дифференциальные операторы. Примеры. Ортогональное разложение пространства Лебега L2 , индуцированное дифференциальным оператором.

    Свойства собственных чисел и собственных функций самосопряженного дифференциального оператора. Полнота системы собственных функций самосопряженного дифференциального оператора. Построение методом Фурье обобщенных решений класса L2 для начально-краевых задач математической физики с неоднородными начальными и граничными условиями. Построение методом Фурье обобщенных решений класса L2 для

    краевых задач математической физики с неоднородными граничными условиями.
    Тема 8. Аппроксимация решений.

    Аппроксимация в пространствах Соболева решений эллиптического или параболического уравнения решениями того же уравнения в подходящем расширении области. Способы построения в явном виде базисных систем решений для произвольных областей и полнота таких базисных систем. Аппроксимация решений краевых и начально-краевых задач линейными комбинациями базисных решений. Способы определения коэффициентов линейных комбинаций базисных решений.




    КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ

    Промежуточный контроль знаний (3 семестр):

    Коллоквиум 1. Темы 1–3.
    Темы контрольных работ:
    Контрольная работа № 1. Классификация и приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Задача Коши для гиперболического уравнения. Начально-краевая задача для гиперболического уравнения. Корректность постановки задачи.
    Контрольная работа № 2. Решение краевых задач для эллиптических уравнений с помощью переобразования Фурье. Решение задачи Коши для параболических и гиперболических уравнений с помощью преобразования Фурье.
    Итоговый контроль знаний (3 семестр):

    Зачет.
    Промежуточный контроль знаний (4 семестр):

    Коллоквиум 2. Темы 4–7.
    Темы контрольных работ:
    Контрольная работа № 3. Решение краевых и начально-краевых задач методом Фурье.
    Итоговый контроль знанийпо дисциплине в целом:
    Экзамен.

    ЛИТЕРАТУРА

    Основная литература

    1. Вентцель Т.Д., Горицкий А.Ю., Капустина Т.О., Кондратьев В.А.,

    Радкевич Е.В., Розанова О.С., Чечкин Г.А., Шамаев А.С.,

    Шапошникова Т.А. Сборник задач по уравнениям с частными

    производными (под ред. Шамаева А.С.) – М., 2005.

    2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М., Наука, 1981.


    3. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Башарин А.А., Каримова Х.К.,

    Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям

    математической физики (под ред. Владимирова В.С.) – М., Наука, 1982.
    4. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных

    производных. – М., Изд-во РУДН, 1997.



    Дополнительная литература

    1. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. –

    М., Наука, 1976.
    2. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. –

    М., Бином, 2005.


    Программу составил

    Боговский М.Е. – к.ф.-м.н., доцент кафедры дифференциальных уравнений

    и математической физики факультета физико-математических и

    естественных наук.

    Коьрта
    Контакты

        Главная страница


    Структура и управление в высшем образовании

    Скачать 69.88 Kb.