• Содержание
  • Применение системы символьных вычислений Maple в сфере квантовой механике
  • Численные вычисления против символьных. Обзор литературы



  • страница1/28
    Дата29.01.2018
    Размер2.06 Mb.
    ТипВыпускная работа

    Выпускная работа по «Основам информационных технологий»


      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28

    БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ




    Выпускная работа по
    «Основам информационных технологий»



    Аспирант кафедры теоретической физики

    Тригук Валерий Владимирович

    Руководитель:

    профессор Феранчук Илья Давыдович


    Минск – 2008 г.

    Содержание





    Содержание 2

    Применение системы символьных вычислений Maple в сфере квантовой механике 3

    Введение 3

    Численные вычисления против символьных. Обзор литературы 3

    Использование готовых функций, определение новых 6

    Аналитическое и численное интегрирование 9

    Программирование с помощью Maple 11

    Примеры визуализации данных – построение графиков 14

    Заключение 16

    Список литературы 16

    Предметный указатель 19

    Интернет-ресурсы в предметной области исследования 21

    Личный сайт в WWW 23

    Граф научных интересов 24

    Презентация кандидатской диссертации 25

    Приложения 26




    Применение системы символьных вычислений Maple в сфере квантовой механике

    Введение


    Современный персональный компьютер – это универсальный инструмент, предназначенный для широчайшего круга задач. Один и тот же набор компонентов, купленный однажды в магазине, может быть использован для подготовки деловых документов, проведения финансовых операций. Этот же набор может быть использован для хранения огромных массивов информации, и для предоставления доступа к этой информации удалённо. Без всяких изменений тот же набор может быть использован в качестве DVD-плеера, музыкального центра и прочих аудио-видео развлекательных устройств; а если в комплекте имеется ТВ-тюнер, то и телевизора. Тот же компьютер может затем быть использован и в качестве игровой консоли, поскольку для управления большинством современных компьютерных игр достаточно клавиатуры и мыши. В этом списке намеренно пропущен один важный пункт.

    Многие современные пользователи компьютеров и не подозревают, что само название «Computer» исторически сложилось от основного на тот момент применения компьютера – проведения расчётов. Можно, конечно, возразить, что все перечисленные выше применения компьютера действительно сводятся к вычислениям – будь то определение суммы налога, прорисовка очередного видеокадра или кадра в игре, наложение аудиофильтра при воспроизведении звука и т.д. И это действительно так, причём вычислениями теперь занимается не только центральный процессор, но и видеоускоритель, и даже звуковая карта, сетевая контроллер, модем. Но речь не идёт о внутренних процессах, происходящих «внутри» компьютера. Речь идёт непосредственно о вычислениях, когда целью работы человека на компьютере является получение результатов расчётов.

    Незаменимыми помощниками ученых и инженеров стали системы символьных вычислений. Многие математические операции, которые ранее требовали многих часов работы с карандашом, бумагой и справочниками (взятие производных, вычисление интегралов, аналитическое решение систем дифференциальных уравнений) теперь выполняются с помощью доступного персонального компьютера или ноутбука. О применении систем символьных вычислений в физике и пойдёт речь в этой работе.

    Численные вычисления против символьных. Обзор литературы


    С появлением компьютеров появилась возможность проводить алгебраические операции с целыми и вещественными числами. Вычисление различных функций сводилось к разложению в ряд и ограничением некоторым количеством слагаемых разложения. Поскольку разрабатывавшиеся программы могли работать только с числами, многократно возросло значение различных численных методов. Стали появляться и новые численные методы, не удобные для применения «вручную», но дающие высокую точность при машинной реализации. Уже этого было достаточно для выполнения сложнейших вычислительных работ. В качестве примера можно привести статьи [1,2], содержащие результаты вычисления волновых функций электронов, радиальных плотностей и других характеристик атомов, полученных в рамках метода Хартри — Фока. Следует также отметить, что название одного из первых языков программирования – FORTRAN – расшифровывается как FORmula TRANslator (перевод формул).

    Применение компьютера в таком ракурсе не утратило своего значения и в наши дни. Весьма успешно продаются различные специализированные коммерческие комплексы. Хороший пример – комплекс для проведения расчётов физических свойств твёрдых тел WIEN2k [3], с которым приходилось много работать автору этой работы. Популярны и некоммерческие проекты – abinit [4], SIESTA [5] (предназначенные для тех же целей). Все эти комплексы разработаны на языке FORTRAN, который, к слову, к нынешнему времени претерпел множество изменений. Компиляторы фортрана поддерживают расширенные наборы команд современных процессоров, что позволяет значительно повысить скорость вычислений и увеличить количество значащих цифр.



    Однако суть производимых операций осталась той же – это операции над целыми и вещественными числами, не более того. Простой, и в то же время наглядный пример такой машинной арифметики: . Такое значение не является точным, а имеет погрешность порядка . Использование этого значения в качестве эталонного неизбежно приводит к накоплению ошибок. Это может быть непринципиально, если требуемая точность – 8 цифр, однако зачастую приходится контролировать процесс накопления ошибок. При проведении операций сравнения чисел приходится учитывать некоторую численную толерантность.

    Естественно, подобные методы неспособны на выполнение операций дифференцирования, неопределённого интегрирования, разложения в ряд и многих других, если на входе и на выходе – алгебраическое выражение. Можно вычислить производные в различных точках и протабулировать, но это будет лишь таблица чисел.



    Указанные недостатки привели к созданию систем символьных вычислений (symbolic calculations), оперирующих не с числами, а с символами. Их также называют системами компьютерной алгебры (Computer Algebra Systems), хотя сфера их применения далеко не ограничивается одной алгеброй. Результат вычисления квадратного корня из двух может озадачить: . Но это именно то представление, с которым привык работать физик или математик. Решение уравнения как раз и будут представлены парой чисел (или скорее выражений) и . Попытка вычислить производную даёт значение . Вычисление определённого интеграла также сводится к получению некоторого точного символьного выражения, а не численного значения с ограниченной точностью.

    Одной из таких систем является коммерческий продукт Maple компании Maplesoft, подразделения канадской Waterloo Maple inc. В одной из версий на загрузочной заставке (именуемой на Западе просто как splashscreen) был девиз – «Управляйте интеллектом тысяч математиков». И это действительно так – объём встроенных функций в данной системе огромен. Большинство из них, разумеется, предназначены для символьных вычислений. Поддерживаются и операции с вещественными числами. Следует отметить, что точность таких вычислений ограничивается уже не разрядностью регистров процессора и может задаваться пользователем.

      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28

    Коьрта
    Контакты

        Главная страница


    Выпускная работа по «Основам информационных технологий»